La différence est qu'avec `cases` les équations sont toujours
en style de texte (`inline`) alors qu'avec `aligned` sont en style de formule (`display`).
L'extension *mathtools* a défini un environement `dcase` environnement `dcases` qui peut vous être pratique.
\documentclass[french]{article}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{1}{2}\\
\int_a^b f(x)dx.
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{dcases}
\frac{1}{2}\\
\int_a^b f(x)dx.
\end{dcases}
\end{equation}
\end{document}
