Pour `tcolorbox`, la clef `before upper=` permet de régler le problème.
Pour `minipage`, hormis créer un environment `myminipage` qui incorpore la commande, il me semble qu'il n'y a rien d'autre à faire qu'incorporer `\setlength{\parindent}{un certain alinéa}` au tout début de l'environnement :
\documentclass[a4paper,french, 12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}% Gère l'indentation de la première ligne
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{lipsum}
\tcbset{before upper={\parindent=1.5em}}
\begin{document}
\subsubsection*{Simple \LaTeX}
\lipsum[2]
Voici un texte.
Avec un paragraphe.
\subsubsection*{Dans une tcolorbox}
\begin{tcolorbox}
\lipsum[2]
Voici un texte.
Avec un paragraphe.
\end{tcolorbox}
\subsubsection*{Dans une minipage}
\begin{minipage}{\textwidth}\setlength{\parindent}{2em}
\lipsum[2]
Voici un texte.
Avec un paragraphe.
\end{minipage}
\end{document}
![alt text][1]
[1]: http://texnique.fr:80/osqa/upfiles/parindentintcolorbox.png<img src="/upfiles/parindentintcolorbox.png" style="width: 95%;"/>
