**Mis à jour** Pour modifier la numérotation des (sous)sections : afficher le numéro de la partie au lieu de chapitre il suffit d'ajouter 
    \renewcommand{\thesection}{\thepart.\arabic{section}}
Si vous voulez remet les sections à zéro au début de chaque partie la solution est 
    \makeatletter
    \@addtoreset{section}{part}
    \renewcommand{\thesection}{\thepart.\arabic{section}}
    \makeatother
Il faut faire attention au espacement pour la mise en page de la table des matières,  par exemple
    \makeatletter
    \renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3em}{3.5em}}
    \renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{6.5em}{4em}}
    \makeatother
----------
**mis à jour**
Pour numéroter les sous sous sections `\setcounter{secnumdepth}{3}` et `\setcounter{tocdepth}{3}` pour les montere dans la table des matières
    
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**Code complet**
    \documentclass{book}
    \usepackage{lipsum}
    
    \setcounter{secnumdepth}{3}
    \setcounter{tocdepth}{3}
    \makeatletter
    \@addtoreset{section}{part}
    \makeatother
    \renewcommand\thesection{\thepart.\arabic{section}}
    
    \makeatletter
    \renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3em}{3.2em}}
    \renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{6.2em}{3.8em}}
    \renewcommand*\l@subsubsection{\@dottedtocline{3}{10em}{5em}}
    \makeatother
    
    \begin{document}
    \tableofcontents
    \part{Foo 1}
    \lipsum[1]
    \section{Foo bar 1}
    \subsection{Foo bar baz 1}
    \lipsum[1]
    \subsection{Foo bar baz 2}
    \subsubsection{Foo bar baz 2}
    \lipsum[1]
    \section{Foo bar 2}
    \lipsum[1]
    \end{document}
**Remarque** Les chapitres jouent un rôle central dans la classe `book` et nous ne pouvons pas simplement les passer: il y par exemple le problème des entêtes, les équations... à mon avis le mieux est de redéfinir les style de formatage et numérotation des chapitres.