**Mis à jour** Pour modifier la numérotation des (sous)sections : afficher le numéro de la partie au lieu de chapitre il suffit d'ajouter
\renewcommand{\thesection}{\thepart.\arabic{section}}
Si vous voulez remet les sections à zéro au début de chaque partie la solution est
\makeatletter
\@addtoreset{section}{part}
\renewcommand{\thesection}{\thepart.\arabic{section}}
\makeatother
Il faut faire attention au espacement pour la mise en page de la table des matières, par exemple
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3em}{3.5em}}
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{6.5em}{4em}}
\makeatother
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**mis à jour**
Pour numéroter les sous sous sections `\setcounter{secnumdepth}{3}` et `\setcounter{tocdepth}{3}` pour les montere dans la table des matières
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**Code complet**
\documentclass{book}
\usepackage{lipsum}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\setcounter{tocdepth}{3}
\makeatletter
\@addtoreset{section}{part}
\makeatother
\renewcommand\thesection{\thepart.\arabic{section}}
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3em}{3.2em}}
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{6.2em}{3.8em}}
\renewcommand*\l@subsubsection{\@dottedtocline{3}{10em}{5em}}
\makeatother
\begin{document}
\tableofcontents
\part{Foo 1}
\lipsum[1]
\section{Foo bar 1}
\subsection{Foo bar baz 1}
\lipsum[1]
\subsection{Foo bar baz 2}
\subsubsection{Foo bar baz 2}
\lipsum[1]
\section{Foo bar 2}
\lipsum[1]
\end{document}
**Remarque** Les chapitres jouent un rôle central dans la classe `book` et nous ne pouvons pas simplement les passer: il y par exemple le problème des entêtes, les équations... à mon avis le mieux est de redéfinir les style de formatage et numérotation des chapitres.