Une réponse partielle pour les premières équations
\documentclass[leqno]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[english]{babel}
\NewDocumentCommand{\cj}{m}{\overline{#1}}
\begin{document}
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{@{}l}
|\omega_2| < 1
|\omega_3| <1 \\
|\alpha_i|^2 \leq (1-|\omega_i|^2)(1-|\omega_{i+1}|^2), \; i=1,3 \\
|\alpha_2|^2 < (1-|\omega_2|^2)(1-|\omega_3|^2)
\end{array}\right.\\
&\quad \beta_i (1-|\omega_{i+1}|^2)+ \alpha_i \alpha_{i+1} \cj{\omega_{i+1}} |^2 \leq \left[(1-|\omega_i|^2)(1-|\omega_{i+1}|^2) - |\alpha_i|^2\right]\cdots\\
&\qquad\cdots\times \left[(1-|\omega_{i+1}|^2)(1-|\omega_{i+2}|^2) - |\alpha_{i+1}|^2 \right], \; i=1,2\notag
\end{align}
\end{document}
L'alignement à gauche est bricolé avec `\quad`.
PS : `amp;` est ajouté après chaque esperluette (code html !!!) et je ne sais pas comment le virer !
