Problème d'espacement interligne

%codes utiles
% \begin{flalign*}
%             & (f_k)_j=e^{2\pi i \frac{(k-1)(j-1)}{N}} \\
% \end{flalign*}
% \begin{tit}
% TP 1 : Méthode de Newton
% \end{tit}
% \addcontentsline{toc}{part}{TP 1 : Méthode de Newton}

% \section*{Méthode de Newton pour la minimisation (Exercice 2)}
% \addcontentsline{toc}{chapter}{Méthode de Newton pour la minimisation (Exercice 2)}

% \begin{enumerate}
%     \item Etude analytique de $g$ 
%     \addcontentsline{toc}{section}{Etude analytique d'un polynôme de degré 4 (points critiques, minimum global).}
%
        % \begin{lstlisting}
        % labla
        % \end{lstlisting}

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  %language=R,
  %emptylines=1,
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  %basicstyle=\ttfamily\color{green},
  %moredelim=**[is][\color{red}]{@}{@},
%}
\lstset{basicstyle=\ttfamily,columns=fullflexible,inputencoding=utf8/latin1, backgroundcolor=\color{light-gray},language=R}
\lstset{
     literate=%
         {á}{{\'a}}1{í}{{\'i}}1{é}{{\'e}}1{ý}{{\'y}}1{ú}{{\'u}}1{ó}{{\'o}}1{ě}{{\v{e}}}1{š}{{\v{s}}}1
         {č}{{\v{c}}}1{ř}{{\v{r}}}1{ž}{{\v{z}}}1{ď}{{\v{d}}}1 {ť}{{\v{t}}}1{ň}{{\v{n}}}1{ů}{{\r{u}}}1
         {Á}{{\'A}}1{Í}{{\'I}}1{É}{{\'E}}1{Ý}{{\'Y}}1{Ú}{{\'U}}1{Ó}{{\'O}}1{Ě}{{\v{E}}}1{Š}{{\v{S}}}1
         {Č}{{\v{C}}}1{Ř}{{\v{R}}}1{Ž}{{\v{Z}}}1{Ď}{{\v{D}}}1{Ť}{{\v{T}}}1{Ň}{{\v{N}}}1 {Ů}{{\r{U}}}1 
                    {è}{{\`e}}1{ç}{{\c c}}1
}
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%bidules chapitres
\makeatletter
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\makeatletter
\renewcommand*\l@chapter[2]{%
  \ifnum \c@tocdepth >\m@ne
    \addpenalty{-\@highpenalty}%
    \vskip 1.0em \@plus\p@
    \setlength\@tempdima{1.5em}%
    \begingroup
      \parindent \z@ \rightskip \@pnumwidth
      \parfillskip -\@pnumwidth
      \leavevmode \bfseries
      \advance\leftskip\@tempdima
      \hskip -\leftskip
      #1\nobreak\ 
       \leaders\hbox{$\m@th
        \mkern \@dotsep mu\hbox{.}\mkern \@dotsep
        mu$}\hfil\nobreak\hb@xt@\@pnumwidth{\hss #2}\par
      \penalty\@highpenalty
    \endgroup
  \fi}
\makeatother
%biduleschap
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\begin{document}

\nocite{*}
\begin{titlepage}

%Modifier 4 trucs: la matiere, le sujet, le nom du mec et vérifier la date

\begin{Large}M2 STDV\end{Large}\hfill\begin{Large}\today

\end{Large}
\begin{center}
\vspace*{200pt}
{\Huge\bfseries

Statistique non paramétrique

\par\vspace*{20pt}}
\begin{huge}

\par\vspace*{20pt}
\end{huge}
\vspace*{50pt}

\vspace*{50pt}
\par\vspace*{20pt}

\vspace*{200pt}
\end{center}
\includegraphics[scale=0.05]
{../logo_univ_poitiers.jpg}\hfill

\end{titlepage}

\definecolor{dark-gray}{gray}{0.10}
\theorembodyfont{\huge\textbf{}}

\newtheorem*{Tit}{}
\theorembodyfont{\LARGE\textbf{}}
\newtheorem*{tit}{}

\theorembodyfont{ \setstretch{1.2}\color{black} }
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\theorempostskip{0.7cm}
\newtheorem*{com}{com}

\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{ex}{Exemples}

\setlist[enumerate]{leftmargin=*}
\setlist[itemize]{leftmargin=*}
\definecolor{light-gray}{gray}{0.90}
\newpage
\strut
\newpage
\tableofcontents
\newpage

%çacommence lààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààà
\begin{Tit}
Introduction
\addcontentsline{toc}{part}{Introduction}
\end{Tit}~\\

La statistique paramètrique est le cadre "classique" de la statistique. Le modèle statistique est décrit par un nombre fini de paramètres.

\begin{ex}~\\
\begin{enumerate}
    \begin{item} Observations réelles avec un seul mode :\\
    $ \mathcal{M}=\lbrace \mathcal{N}(\mu,\sigma^2),\quad \mu \in \mathbb{R},\quad\sigma^2 \in \mathbb{R}^{+*}\rbrace $\\
    modèle Gaussien
    \end{item}
        \begin{item} Observations réelles avec plusieurs modes :\\
    $ \mathcal{M}_k=\{ \sum_{i=1}^k p_i \mathcal{N}(\mu_i,\sigma^2),\quad (p_1,...,p_k) \in[0,1]^k,\quad \sum p_i=1,\quad (\mu_1,...,\mu_k) \in \mathbb{R}^k,\quad\sigma^2 \in \mathbb{R}^{+*}\} $\\
    modèle de mélange Gaussien
    \end{item}
\end{enumerate}
\end{ex}
Par opposition, en statistique non paramétrique, le modèle n'est pas décrit par un nombre fini de paramètres.\\
Divers cas de figure peuvent se présenter.
\begin{ex}~\\
\begin{enumerate}
    \item On s'autorise toutes les distributions possibles, c'est à dire que l'on ne fait aucune hypothèse sur la forme/nature/type de la distribution des variables aléatoires.
    \item On travaille sur des espaces fonctionnels de dimension infinie. Par exemple les densités continues sur $[0,1]$, ou les densités monotones sur $\mathbb{R}$.
    \item Le nombre de paramètres du modèle n'est pas fixé et varie (augmente avec le nombre d'observations).
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{Tit}
Motivations
\addcontentsline{toc}{part}{Motivations}
\end{Tit}
\begin{tit}
Observation rangées
\addcontentsline{toc}{section}{Observation rangées}
\end{tit}~\\    
        Situation :\\
            \begin{enumerate}
                \item On dispose des résultats de questionnaires où des échantillons de consommateurs ont classé un ensemble de produits par ordre de préférence.
                \item Les questionnaires proviennent de supermarchés situés dans des zones socio-économiques différentes.
                \item On se demande si un produit p obtient un classement significativement différent d'un supermarché à l'autre.
            \end{enumerate}
Question :
\begin{enumerate}
    \item Comment modéliser la distribution des observations ?
    \item Quel test utiliser ?
\end{enumerate}         
Réponse : Tests de rang
\begin{tit}
Observation mesurées
\addcontentsline{toc}{section}{Observation mesurées}
\end{tit}~\\    
Situation : On observe des données quantitatives\\
Question\\
\begin{enumerate}
    \item Peut-on supposer que les observations suivent une loi normale ? (par exemple faire des tests sur la moyenne) \\
    Réponse : test de normalité
    \item Combien de modes possède cette distribution ?\\
    Réponse : estimation de la densité
\end{enumerate}\\
\begin{Tit}
Quand utiliser la statistique non paramétrique ?
\addcontentsline{toc}{part}{Quand utiliser la statistique non paramétrique ?}
\end{Tit}
\begin{tit}
Contextes d'utilisation
\addcontentsline{toc}{section}{Contextes d'utilisation}
\end{tit}~\\

\begin{ex}~\\   
\begin{enumerate}
    \item Quand on arrive pas à ajuster correctement les observations avec une distribution paramétrique
    \item Quand on n'a aucune idée du modèle, ou qu'on ne veut pas avoir un à priori sur le modèle.
    \item Quand on ne sait pas combien de composantes on veut mettre dans un mélange.
    \item Quand le nombre de variables est trop grand (problème de grande dimension et qu'un modèle paramétrique est non-utilisable car il y aurait trop de paramètres)
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{tit}
Avantages 
\addcontentsline{toc}{section}{Avantages }
\end{tit}~\\    
\begin{enumerate}
    \item Moins d'à priori sur les observations
    \item modèles plus généraux donc plus robustes au modèle
\end{enumerate}
\begin{tit}
Inconvénients
\addcontentsline{toc}{section}{Inconvénients}
\end{tit}~\\    
\begin{enumerate}
    \item Vitesse de convergence plus lente, donc il faut plus de données pour obtenir une précision équivalente.
\end{enumerate}

\begin{Tit}
Références bibliographiques
\addcontentsline{toc}{part}{Références bibliographiques}
\end{Tit}~\\
\begin{enumerate}
    \item E.L. Lehman "Elements of large sample theory", Springer Texts in statistics, Springer-Verlog 1999
    \item A.B. Tsybakov "Introduction à l'estimation non-paramétrique, volume 4" de mathématiques et Applications (Berlin) Springer Verlog Berlin 2004
    \item D. Bosq "Non paramétric statistics for stochastic process" Springer Verlog, 1996
\end{enumerate}
\begin{Tit}
Modèle de densité
\addcontentsline{toc}{part}{Modèle de densité}
\end{Tit}~\\

Tout au long de ce chapitre, on suppose que les observations $X_1,...,X_n$ sont des variables indépendantes de même loi (i.i.d.) de densité f.\\
Pour simplifier, on suppose que les $X_i$ sont à valeurs réelles et que f est la densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$.\\
Par conséquent $\mathscal{P}$
\begin{tit}
Estimation par histogramme
\addcontentsline{toc}{section}{Estimation par histogramme}
\end{tit}~\\    
Tout au long de ce chapitre, on suppose que les observations $X_1,...,X_n$ sont des variables indépendantes de même loi (i.i.d.) de densité f.\\
Pour simplifier, on suppose que les $X_i$ sont à valeurs réelles et que f est la densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$.\\
Par conséquent $\mathscal{P}$
\end{document}